lunes, 17 de octubre de 2011

Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo

Todo triángulo tiene además de tres ángulos interiores, otros tres ángulos exteriores, cada uno suplementario a su ángulo interior adyacente.

Para ver esta idea mas clara dibujemos un triángulo y recordemos primero cuáles son ángulos exteriores.



Y aquí tenemos otra propiedad importante:

La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es 360º.

Esta propiedad de los ángulos exteriores también vale la pena demostrarla ya que es un ejercicio interesante de lógica. Veamos esto en detalle:

Cada ángulo interior de un triángulo es adyacente a su ángulo exterior, esto quiere decir que entre ambos suman 180º. En el gráfico vemos por ejemplo como el ángulo "alfa" es suplementario a su adyacente interior  y que ambos suman 180º porque forman un ángulo llano.


Por otro lado si sumáramos todos los ángulos interiores con todos los ángulos exteriores. 




Así podemos armar las siguientes sumas:




Con esto tenemos que la suma de los seis ángulos es tres veces 180º, es decir la suma de los  seis ángulos es 540º.

Entonces tenemos que:

La suma de los seis ángulos es 540º (Ángulos interiores y Ángulos exteriores)
La suma de los tres ángulos interiores es 180º.

Por lo tanto la suma de sólo los tres exteriores es la diferencia entre ambas:

540º - 180º = 360º que es igual a la Suma de los ángulos exteriores


Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo

La suma de los ángulos interiores de un triángulo 
es igual a dos rectos.
Debemos demostrar que:
Por el vértice B se traza una recta m // AC , que­dando así determinados los ángulos α y ε .

por ser un ángulo llano.
(1)  



Pero







Se reemplaza en (1) por sus iguales: es decir donde aparece α se coloca   y donde aparece ε se coloca Ĉ .
A continuación observa el video de la demostración y responde el cuestionario: 




Nota: Puedes acceder al video con zoom haciendo click en: Suma de los ángulos interiores de un triángulo

Espero te haya gustado, hasta pronto.

Triángulos

Quizás por tratarse del polígono del menor número de lados, el triángulo ha sido una de las figuras geométricas que más ha interesado al hombre desde los principios de la civilización. Ya desde hace cuarenta siglos, se sabe que es una figura rígida e indeformable. Quizás debido a esta propiedad, o tal vez por que sus vértices forman un plano, el triángulo ha figurado y figura como soporte de algunas construcciones arquitectónicas. Otras propiedades de los triángulos son la existencia de dos ángulos agudos, que el lado mayor es menor que la suma de los otros dos y que la suma de todos sus ángulos es igual al ángulo llano, o sea, ciento ochenta grados.

Puedes ver la Definición y la clasificación en la siguiente presentación





El triángulo equilátero
Para sostener las vigas de un puente es frecuente la utilización de soportes triangulares. En el caso de la siguiente imagen, éstos tienen todos los lados iguales: son triángulos equiláteros.
la obtención de un triángulo equilátero perfecto se consigue mediante la intersección de dos circunferencias. tal como muestra la figura superior.


El triángulo isósceles
La unión ideal de tres puntos geográficos nos permite obtener la figura con dos lados y dos ángulos iguales. Se trata del triángulo isósceles.
El triángulo escaleno
Si tomamos tres tiras o tres lineas de longitudes distintas, de modo que la tira mayor sea menor que la suma de las otras dos, podremos construir un triángulo de lados desiguales. Este es el triángulo escaleno.

sábado, 15 de octubre de 2011

Actividades con Poligonos

¿Evaluamos cuanto sabemos 
de los polígonos cóncavos y convexos? 

1) Pincha en el siguiente enlace: Polígonos cóncavos y convexos.

2) Para jugar con el Tangram

El Tangram es un rompecabezas o puzzle llamado “la plaqueta de la sabiduría" por los chinos que lo crearon hace mucho, ya que en 1813 a.C. se publicó un tratado de este juego. Con el tiempo, se conoció en Europa. Fue uno de los preferidos de Napoleón que, además de general y emperador, fue un entusiasta de la matemática.


¿En qué consiste el tangram? Es un cuadrado dividido en siete piezas, como indica el dibujo. Para jugar hay que formar figuras, utilizando todas sin superponerlas.
Con el tangram se ha construido cada una de las letras del alfabeto latino y las cifras arábigas. También se pueden construir solo 13 figuras convexas. ¿Se animan a hacerlo? Para ello descarguen este modelo pinchando en la imagen o constrúyanlo en algún material, manteniendo las proporciones.


También puedes visitar el siguiente sitio: Tangram Interactivo, y allí puedes jugar más con las piezas del trangram.

Más sobre Poligonos

Suma de los ángulos interiores de un polígono

La suma de los ángulos interiores de un polígono es 
igual a dos rectos por el número de lados menos dos.
 
Se lee: sumatoria de los A ángulos interiores del polígono.

Para la demostración consideramos un pentágono. Consideramos un punto O interior al polígono ABCDE  y unimos cada vértice con el centro O, quedando determinados los triángulos.


Por ser la suma de los ángulos interiores de un triangulo igual a dos rectos.

Sumando miembro a miembro:


Como:



Como  
  
(porque forma un ángulo de giro), pasa al otro miembro restando:


Se saca factor común 2R:


Generalizando para cualquier numero de lados del polígono.
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es siempre igual a 4R.


Suma de los Ángulos interiores de un Polígono

Te invito a que muevas el punto a y observes como se comprueba la propiedad.



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Espero que te haya gustado y espero tus comentarios.

Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

Poligonos

En los objetos que vemos a nuestro alrededor, podemos identificar formas y características particulares. Si nos detenemos y observamos sus superficies, veremos que algunos tienen tres o más lados rectos, otros combinan líneas rectas y curvas, o están formadas por una sola línea curva.
En las entradas que siguen vamos conocer diversas figuras geométricas, como los polígonos (del griego “polis” que quiere decir “mucho” y “gonia” que significa “lado”). Es decir, nos referiremos a las figuras que tienen tres o más lados.
Estudiaremos de los Polígonos su definición, sus elementos y clasificación. Más tarde veremos también las Propiedades que cumplen los polígonos. 
Para ello te propongo a continuación que visites la entrada generada de Polígonos en el Blog MATEMATICA 2010 alli encontrarás no sólo las primeras definiciones sino también algunos otros aportes a la Matemática.
Todos estos conocimientos pueden resultar apasionantes y, además ayudarnos a resolver problemas que se plantean en nuestra vida cotidiana.

Polígonos - 3, 4, 5 y 6 lados

jueves, 13 de octubre de 2011

Propiedades del ángulo semi-inscripto

Te invito a que manipules los siguientes applets y observes las propiedades de los ángulos semi-inscriptos

1º Propiedad

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Arnedo Daniela Elizabeth, Creación realizada con GeoGebra


2º Propiedad

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Arnedo Daniela Elizabeth, Creación realizada con GeoGebra


3º Propiedad

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Arnedo Daniela Elizabeth, Creación realizada con GeoGebra

miércoles, 12 de octubre de 2011

Ángulos Semiinscriptos en la Circunferencia

El ángulo semiinscripto en un arco de circunferencia tiene su vértice en uno de los extremos del arco; uno de sus lados pasa por el otro extremo y el otro lado es tangente a la circunferencia en el vértice.


ángulo semiinscripto.

A todo ángulo semiinscripto le corresponde un ángulo central que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados pasan por los extremos del arco.
ángulo central que le corresponde a


¿Cómo construimos un ángulo semiinscripto?


Partimos de un arco y un ángulo central; y definimos el punto M, como vértice del Ángulo semiinscripto.
Trazamos la tangente en el vértice
Trazamos la semirrecta que une los extremos del arco
Nos queda formado el ángulo semiinscripto 


Propiedades del ángulo inscripto

Te invito a que manipules los siguientes applets y observes las propiedades de los ángulos inscriptos


1º Propiedad



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Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra


2º Propiedad



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Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra


3º Propiedad



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Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra




Ángulos Inscriptos en la Circunferencia

Se llama ángulo inscrito en un arco de circunferencia al que tiene su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados pasan por los extremos del arco.

 Ángulo insc.;  O interior al ángulo está Inscrito en el arco que contiene al punto B o sea y abarca

A todo ángulo inscrito le corresponde un ángulo central que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados son radios que pasan por los extremos del arco.

Ángulo central correspondiente al ángulo inscrito




 
Ángulo central correspondiente al ángulo inscrito


Ahora te invito a continuar estudiando sobre las propiedades de los ángulos inscriptos en una circunferencia, haciendo click aquí.

martes, 11 de octubre de 2011

El Diámetro y sus propiedades

EL DIÁMETRO


Primero veamos algunas definiciones…

Diámetro. (Del lat. diamĕtrus, y este del gr. διάμετρος). m. Geom. Segmento de recta que pasa por el centro del círculo y cuyos extremos están en la circunferencia. || 2. Geom. En otras curvas, línea recta o curva que pasa por el centro, cuando aquellas lo tienen, y divide en dos partes iguales un sistema de cuerdas paralelas. || 3. Geom. Segmento de recta que pasa por el centro de la esfera y cuyos extremos están en su superficie. || ~ aparente. m. Astr. Ángulo formado por las dos visuales dirigidas a los extremos del diámetro de un astro. || ~ conjugado. m. Geom. Cada uno de los dos diámetros de los cuales el uno divide en dos partes iguales todas las cuerdas paralelas al otro. 

Muy bien aquí aparecen varias definiciones... te propongo que observes a tu alrededor y mires como se adaptan todas ellas en la vida cotidiana.

Propiedades del diámetro

1) El diámetro es la mayor de las cuerdas que pueden trazarse en una circunferencia.

2) Su longitud es doble de la del radio .

3) El diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias.

4) Divide al círculo en dos partes iguales llamadas semicírculos. .

5) Todo diámetro de una circunferencia perpendicular a una cuerda divide a ésta en dos partes iguales.

Te invito a que observes como se van generando los infinitos diámetros de la circunferencia:

Diámetros infinitos
Observa los infinitos diámetros de la circunferencia:


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Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

Ahora te propongo que visites los siguientes sitios en la web y observes algunos hechos curiosos que involucran al diámetro….


·       Disminuye el diámetro de la Luna
·       Controlan el diámetro de los Nanostubos de carbono
·       Hueco gigante en Guatemala

    lunes, 10 de octubre de 2011

    Relaciones entre Cuerdas, arcos y ángulos centrales

    Aquí te dejo un Trabajo Práctico para que lo elabores y trabajes con las relaciones entre cuerdas, arcos y ángulos centrales de circunferencias.
    Puedes ayudarte utilizando y manipulando los siguientes applets de GeoGebra:

    Relaciones entre cuerdas, arcos y ángulos centrales
    Mueve los puntos M, N y observa cómo varian las cuerdas, los arcos y ángulos centrales.


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    Espero que logres con ayuda de GeoGebra concluir las propiedades que se piden en el Trabajo Práctico.
    Daniela E. Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

    Relaciones entre cuerdas, arcos y ángulos centrales
    Manipula el punto A y observa que sucede con las cuerdas, arcos y ángulos centrales en la circunferencia.


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    Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

    ¿Será posible concluir lo mismo con otro aplicativo?
    Es decir no siempre se dará que sean ángulos opuestos por el vértice.
    Te invito a que pruebes esto con tus creaciones con GeoGebra.

    Cuerdas, arcos y ángulos centrales

    Observa en la Presentación las definiciones de cuerdas, arcos y ángulos centrales de circunferencias.

    domingo, 9 de octubre de 2011

    El Círculo

    Ahora bien, otro concepto importante relacionado al de circunferencia es el de círculo que definimos a continuación.

    Se llama círculo al conjunto de una circunferencia más los puntos interiores a la misma.


    Aunque a veces se confunden ambos conceptos, obsérvese que, geométricamente, la circunferencia es una línea; en cambio, el círculo es una superficie.

    La circunferencia, el círculo y la esfera parecen oponerse, por su perfección a las demás formas que vemos o imaginamos. Es más los egipcios hicieron del círculo solar un dios, al que llamaron Ra.

    El plano de la antigua ciudad de Ur, en Mesopotamia, era circular.
    En cuanto a la Luna, cuando está llena ¿no es un circulo esplendido y brillante en la noche?
    La línea recta también podría pretender esta perfección, pero a diferencia del círculo es difícil de representar ya que su longitud es infinita.
    La ronda es una figura de danza universal.

    jueves, 6 de octubre de 2011

    Posiciones relativas con respecto a la Circunferencia

    Puntos, rectas, circunferencias son objetos geométricos... ¿qué relación puede existir entre ellos?
    A continuación te dejo una Presentación con las distintas Posiciones Relativas de un punto con respecto a una circunferencia, una recta y una circunferencia y finalmente dos circunferencias.


    Te propongo, de acuerdo a lo observado en la presentación anterior, que respondas las siguientes preguntas:

    ¿Que tipo de circunferencias son C y C`?

    Mueve T y observa que tipo de circunferencias se forman.


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    Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

    ¿Que tipo de circunferencias son E y F ?
    ¿Qué tipo de circunferencias son?
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    Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

    sábado, 1 de octubre de 2011

    Estudio de la Circunferencia

    CIRCUNFERENCIA

    La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes que están presentes en la vida en forma cotidiana. Está en todas partes, aunque no lo parezca. Observa: El mundo de las Circunferencias.

    Para comenzar con este amplio e importante tema, aclararemos qué es la circunferencia:

    Se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de los puntos del plano que están a una distancia igual a r del centro O.

    C (O; r) se lee: circunferencia de centro O y radio r.

    Observa como sucede esto...

    Circunferencia
    Observa como el punto P describe la Circunferencia con centro O y radio r = 10.


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    Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

    Circunferencia según el radio
    Te propongo que muevas el punto r y mires como se van generando las circunferencias...


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    Espero que te haya gustado
    Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

    Ahora te invito a que participes en el Blog dejando tus comentarios, puedes realizar una lista de los lugares donde encuentres la circunferencia en: la naturaleza; el deporte, las artes; la música; la calle; la casa; los juegos; las profesiones.